integrare con Excel

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In molte applicazioni di carattere scientifico e tecnico si presentano spesso e volentieri situazioni in cui occorre calcolare l'integrale definito di una data funzione.
Nel nostro campo, penso per esempio alla Resistenza di radiazione di una antenna filare , o a quella di un'antenna verticale sul terreno.
E' vero, c'è il "Neri" o qualche altro testo a nostro uso e consumo che ci riportano direttamente il valore teorico della Rr di tali tipi di antenne. Ma se uno vuole andare oltre e approfondisce il discorso che sta dietro quei valori, finisce con l'incontrare appunto un integrale definito.
Oltre ai metodi rigorosi per il calcolo degli integrali ( si studiano per esempio al quinto anno di liceo scientifico e , per chi prosegue, in varie facoltà scientifiche all'università) potrebbe interessare il fatto che gli integrali definiti si possono calcolare anche per via numerica, quindi , per esempio, con Excel...

Allego qui un foglio elettronico da me realizzato e che consente il calcolo dell'integrale definito della funzione sen(x) tra due estremi a piacere (tra 0 e 360 gradi). Il metodo numerico applicato è quello dei rettangoli. Ve ne sono altri, anche più precisi, come quello dei trapezi e quello delle parabole, ma quello dei rettangoli è il più immediato da capire e se si sceglie un passo di integrazione abbastanza piccolo, anche la precisione diventa ottima.
Nel file ho usato un passo di integrazione pari a 1000.
Il risultato indicato nel foglio elettronico è il valore dell'integrale definito tra gli estremi a e b. Se la curva rappresentativa della funzione sen(x), in base agli estremi a e b prescelti, si mantiene sempre sopra l'asse x, allora il risultato coincide con l'area sottesa dalla curva. Se, invece, la curva sta un pò sotto e un pò sopra l'asse delle x, allora per avere l'area totale sottesa, dovremmo applicare il valore assoluto ai contributi negativi, per aevere sempre aree positive. Il risultato indicato nel foglio elettronico, quindi, va inteso anche come area sottesa dalla curva sen(x) solo se questa sta tutta sopra l'asse x.

Chi volesse conoscere più da vicino questo metodo di calcolo degli integrali definiti, può leggere ad esempio questo documento:

http://www.andrea-asta.com/portfolio...zione+numerica

Questo il link per scaricare il foglio elettronico

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Re: integrare con Excel

Per convincerci del significato geometrico di un integrale definito, al posto della funzione sen(x) considero una funzione molto semplice, cioè quella che associa ad ogni x il valore y=x. In pratica, nel piano cartesiano, la curva che rappresenta questa funzione è la retta inclinata di 45 gradi rispetto all'asse delle x e passante per l'origine degli assi.
Con riferimento alla seguente figura:



se consideriamo il triangolo OAB, sappiamo tutti che la sua area è data da base per altezza e il prodotto diviso due, giusto ? Allora, nel caso della figura, sappiamo già che l'area del triangolo è 50 (10x10/2). Vediamo cosa succede calcolando invece l'integrale definito della funzione y=x tra gli estremi x=0 e x=10.
Applicando il metodo numerico dei rettangoli visto nell'alto post, ottengo che tale integrale è 50,05. Ottengo cioè quasi lo stesso valore dell'area sottesa dalla curva (in questo caso la retta inclinata di 45 gradi).
Questo perché con il metodo dei rettangoli in pratica andiamo a calcolare l'area del triangolo come somma di tanti rettangoli successivi , ciascuno avente per base la quantità (b-a)/n (dove n è il passo di integrazione, cioè il numero di parti in cui suddividiamo l'intervallo b-a) e avente per altezza il valore della funzione corrispondente a quel rettangolo. E' quindi, intuitivo, che sommando l'area di tutti questi rettangoli, alla fine ci ritroviamo quasi l'area del triangolo di partenza. "Quasi" perché il metodo numerico è approssimato, non è esatto come i metodi classici di integrazione. La differenza tra il valore noto dell'area (50) e il valore approssimato determinato con il metodo numerico è 50,05-50 = 0,05. Se rapportiamo tale differenza al valore noto dell'area otteniamo:
0,05/50 = 0,001 che equivale allo 0,1 %. Se tale risultato sia accettabile dipende dal contesto in cui stiamo calcolando l'integrale. Se la percentuale di errore fosse considerata alta, la si può ridurre aumentando il passo di integrazione.

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Re: integrare con Excel

A qualcuno questa discussione sembrerà fuori luogo, in realtà non lo è.
E' vero, non tutti hanno nel proprio bagaglio culturale gli integrali, ma in fondo, per molti argomenti che ci interessano, i metodi di integrazione numerica con l'ausilio di Excel aiutano molto.
Una volta capito il meccanismo, si possono fare cose davvero simpatiche. Magari, come quella che sto per esporre, non nuove ma utili per convincersi di cose che troviamo scritte sui testi.
Prendiamo per esempio, il diagramma di fig.3-12 di pagina 101 del "Neri", ANTENNE - linee e propagazione, che riporto qui di seguito per comodità:



Questo diagramma rappresenta, come spiegato nella didascalia, l'andamento della Resistenza di radiazione di un dipolo alimentato al centro al variare della lunghezza fisica del filo.
Sono visibili tre curve, a seconda del rapporto diametro conduttore/lunghezza d'onda. Focalizziamo l'attenzione su quella con i picchi più evidenti, valida per un conduttore molto sottile.

Il metodo per calcolare la resistenza di radiazione è energetico, ossia consiste nel determinare l'espressione della potenza irradiata dall'antenna, integrando il vettore di Poynting (densità di potenza) su una superficie sferica di raggio molto grande che la contenga, e nell'imporre l'uguaglianza tra questa potenza e quella che si immagina dissipata nel punto di alimentazione, in corrispondenza di un picco di corrente, su una resistenza fittizia, definita appunto Resistenza di radiazione (1/2 Rrad I^2). Chi volesse approfondire la conoscenza del procedimento, lo trova spiegato, per esempio, (in inglese) sul testo "Antennas" di John D. Kraus (l'edizione del 1988 si trova anche online, in formato pdf, basta cercarla con google).

Applicando il suddetto procedimento, ad un certo punto si arriva ad un integrale di cui i vari testi, in genere, forniscono valori tabellati. Ho, invece, implementato il calcolo di tale integrale, per via numerica, in un foglio Excel.
Il risultato è il seguente:



La curva rossa è quella dell'andamento della Rrad in funzione del rapporto tra lunghezza fisica dell'antenna filiforme e lunghezza d'onda, calcolata nel punto di picco della corrente lungo il conduttore.
La curva azzurra, invece, rappresenta l'andamento della resistenza nel punto di alimentazione (cioè al centro). Il grafico è praticamente simile a quello del Neri, ad eccezione del fatto che nel grafico calcolato con Excel il valore della resistenza va ad infinito in corrispondenza di lunghezza del conduttore pari a una lunghezza d'onda o suoi multipli. Questo perché nel calcolo si fa l'ipotesi teorica di filo infinitamente sottile e si pone =0 la corrente alle due estremità del conduttore. In realtà, il filo ha un suo diametro, pur se sottile e il valore della corrente alle estremità non è esattamente nullo. Quindi, si ritrovano i picchi (ma con valore finito) della resistenza nel punto di alimentazione visibili nel grafico del Neri.

Ho confrontato il grafico ottenuto con Excel anche con quello visibile in questo documento, pagina 44, e che riporto per comodità:



In quest'ultimo grafico è riportato anche l'andamento della direttività, che in questa sede non interessa.
A meno del valore massimo sull'asse delle ordinate, i due grafici sono praticamente identici.